整数与实数

 前面我们讨论的都是拓扑学的逻辑基础——集合论的一些基本概念。现转入讨论其数学基础——整数与实数系。
 建立起这些基础的一个办法是，仅仅使用集合论公理来构造实数系，也就是说，赤手空拳地干。这样处理问题要花费很多时间和精力，并且其中逻辑的意味远远超过数学。第二种方法比较简单，它假定已有实数的一些公理，从这些公理出发进行讨论。本节大体上就是这样处理实数的。
 首先，我们将要用到集合论中的一个定义。
 定义 集合\(A\)中的一个二元运算（binary operation）是将\(A\times A\)映到\(A\)中的一个函数\(f\)。
 对于集合\(A\)中的二元运算\(f\)，往往使用一种与函数这一节引进的标准函数记号不同的记号。函数\(f\)在\((a,a')\)处的值不用\(f(a,a')\)，而是把函数符号写在两个分量中间，即用\(afa'\)表示。与关系的情况一样，今后也经常使用一些不同于字母的符号来表示一个运算。常用的符号有加号（\(+\)）、乘号（\(\cdot\)）和（\(\circ\)），以及星号（*）等等。
假定

 我们假定有一个称为实数（real numbers）的集合\(\mathbb{R}\)，在\(\mathbb{R}\)上有分别称之为加法运算和乘法运算的两个二元运算\(+\)和\(\cdot\)，以及\(\mathbb{R}\)上的一个全序关系\(y\)，则\(x+z>y+z\)。若\(x>y\)和\(z>0\)，则$x\cdot z > y\cdot z $；

 序性质
 (7) 全序关系\(